C语言动态规划解决0-1背包问题

动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是一种在数学、计算机科学和经济学中使用的，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。动态规划常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题，它能够将问题分解为相互独立的子问题，并将子问题的解存储起来，以便下次需要时直接使用，从而减少计算量，提高效率。最经典的例子就是0-1背包问题。

0-1背包问题描述：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价值，在限定的总重量内，选取若干种物品，使得物品的总价值最大。其中，每种物品只能选择一次或不选择。

基本思路

用子问题定义状态：f[i][c] 表示前 i 件物品放入一个容量为 c 的背包可以获得的最大价值。第 i 件物品的重量是 wi，价值是 vi，则其状态转移方程是：

f[i][c] = max(f[i-1][c], f[i-1][c-wi] + vi)

这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。分析子问题“将前 i 件物品放入容量为 c 的背包中”，考虑第 i 件物品放或不放入背包，可以转化为一个只牵扯前 i-1 件物品的问题：如果不放第 i 件物品，那么问题就转化为“前 i-1 件物品放入容量为 c 的背包中”，价值为 f[i-1][c]；如果放第 i 件物品，那么问题就转化为“前 i-1 件物品放入剩下的容量为 c-wi 的背包中”，此时能获得的最大价值就是 f[i-1][c-wi] 再加上通过放入第 i 件物品获得的价值 vi。所以按照这个方程递推完毕后，最终的答案一定是 f[i][c]。

示例程序

#include 
#define max(a, b) a > b ? a : b
int knapsack(int weights[], int values[], int capacity, int n) {
    // f[i][c] 表示在前i个物品中选择若干个物品放入容量为c的背包中所能获得的最大价值
    int f[n + 1][capacity + 1];
    for (int i = 0; i