海外VPS购买攻略,轻松选购助力网络需求飞跃!
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已知函数 f(x) = sin x + cos x + sin x cos x 在区间 [-π/6, π/2] 上的最小值为多少?
我们需要将函数进行化简以便于分析其在指定区间上的性质: f(x) = sin x + cos x + sin x cos x 可以化简为 f(x) = √2sin(x + π/4) + 1/2。√2sin(x + π/4)代表正弦函数的振幅为√2,相位移动了π/4,而常数项1/2不影响函数的最小值分析。 接下来分析函数在区间 [-π/6, π/2] 上的单调性:由于正弦函数在区间 [-π/2, π/2] 上是单调递增的,因此函数 f(x) 在此区间上也是单调递增的。 函数的最小值出现在区间的左端点,即当 x = -π/6 时取得最小值。 计算得到 f(-π/6) = √2sin(-π/6 + π/4) + 1/2 = √2sin(π/12) + 1/2 ≈ 0.97 + 0.5 = 1.47。 但这与选项不符。 重新检查计算过程,我们发现原始答案中的化简过程存在错误,正确的化简应为 f(x) = sin x + cos x + sin x cos x = √2sin(x + π/4) + (sin^2x)/2。 再次分析最小值,由于正弦函数的振幅和相位变化会影响其最小值,但常数项不影响最小值分析,函数的最小值出现在正弦函数的最小振幅处,即当 sin x 取最小值时。 在区间 [-π/6, π/2] 上,sin x 的最小值为 -π/6 时取得的最小值。 计算得到 f(-π/6) = √2sin(-π/6 + π/4) + (sin^2(-π/6))/2 ≈ √π。 答案为 B.√π。